Η διαστολή του χρόνου και το φαινόμενο Doppler

Το φαινόμενο Doppler
Εάν βρισκόμαστε ακίνητοι στο πεζοδρόμιο την ώρα που πλησιάζει με σταθερή ταχύτητα ένα όχημα που έχει σειρήνα (πχ περιπολικό ή ασθενοφόρο), ακούμε τον ήχο της σειρήνας του οξύτερο (με μεγαλύτερη συχνότητα), από ό,τι όταν το όχημα απομακρύνεται από μας.
Γενικά, η συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής δεν είναι ίδια με αυτήν που εκπέμπει μία πηγή όταν ο παρατηρητής και η πηγή βρίσκονται σε σχετική κίνηση μεταξύ τους.
Το φαινόμενο αυτό λέγεται φαινόμενο Doppler και ονομάστηκε έτσι προς τιμήν του αυστριακού φυσικού Christian Doppler που το πρότεινε το 1842.
Αν c η ταχύτητα του ήχου στον αέρα τότε, στην περίπτωση που μια ακίνητη πηγή εκπέμπει ηχητικό σήμα συχνότητας f και ένας παρατηρητής απομακρύνεται από την ηχητική πηγή με ταxύτητα v αντιλαμβάνεται συχνότητα f’=f(1-β) ή θεωρώντας την σχέση c=λf μεταξύ μήκους κύματος και συχνότητας λ’ = λ/(1-β), όπου β=υ/c.
Στην περίπτωση που ο παρατηρητής είναι ακίνητος και η πηγή απομακρύνεται με ταχύτητα υ, ισχύει f’=f/(1+β) ή

Και στις δυο περιπτώσεις η πηγή και ο παρατηρητής απομακρύνονται μεταξύ τους και η παρατηρούμενη συχνότητα είναι μικρότερη της συχνότητας που εκπέμπει η πηγή. (Αντικαθιστώντας το υ με –υ προκύπτουν οι αντίστοιχες περιπτώσεις κατά την οποία η πηγή και ο παρατηρητής πλησιάζουν μεταξύ τους).
Αν εξετάσουμε το φαινόμενο Doppler με ηλεκτρομαγνητικά σήματα, που διαδίδονται με την ταχύτητα του φωτός c, στα πλαίσια της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας, τότε όταν τα συστήματα αναφοράς S’ του παρατηρητή και S της πηγής απομακρύνονται μεταξύ τους με σχετική ταχύτητα v ισχύει:
 ή

Εδώ δεν υπάρχει μέσο διάδοσης για το ηλεκτρομαγνητικό κύμα ως ακίνητο σύστημα αναφοράς (όπως ο αέρας για το ηχητικό κύμα) και δεν υπάρχουν δύο περιπτώσεις όπως στην περίπτωση των ηχητικών κυμάτων και ικανοποιείται η συμμετρία Lorentz. (Στην περίπτωση που τα συστήματα αναφοράς S’ και S πλησιάζουν μεταξύ τους τότε αντικαθιστούμε το υ με –υ).
Η επαλήθευση της διαστολής του χρόνου διαμέσου του φαινομένου Doppler
Το σχετικιστικό φαινόμενο Doppler διαφέρει από το κλασικό διότι οι εξισώσεις του περιλαμβάνουν και το φαινόμενο της διαστολής του χρόνου που προβλέπει η Ειδική Σχετικότητα.

Συνεπώς το φαινόμενο Doppler θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για την επαλήθευση της διαστολής του χρόνου.
Kαι αυτό έκαναν οι Η. Ε. Ives και G. R. Stilwell to 1938 οποίοι μέτρησαν το μήκος κύματος που εξέπεμπαν κινούμενα ιόντα κατά την αποδιέγερσή τους. (“An Experimental Study of the Rate of a Moving Atomic Clock“και “An Experimental Study of the Rate of a Moving Atomic Clock ΙΙ“)
Στην περίπτωση που τα ιόντα απομακρύνονται από τον παρατηρητή ισχύει:

ενώ στην περίπτωση που πλησιάζουν:

Παρατηρούμε ότι σε πρώτη προσέγγιση (θεωρώντας το β²/2 αμελητέο) έχουμε μετατόπιση του μήκους κύματος κατά έναν παράγοντα

Παρατηρείστε ότι η σχετικιστική προσέγγιση πρώτης τάξης για το φαινόμενο Doppler ταυτίζεται με την κλασική σχέση (βλέπε εξίσωση 1).
Oι επιπλέον όροι που εμφανίζονται στα αναπτύγματα των εξισώσεων (3) και (4) οφείλονται στο σχετικιστικό φαινόμενο της διαστολής του χρόνου. Έτσι ο όρος δεύτερης τάξης στα αναπτύγματα αυτά δίνει την (πρώτη προσέγγιση) στη μετατόπιση του μήκους κύματος που οφείλεται στη διαστολή του χρόνου. Η μετατόπιση αυτή είναι: Δλ₂ = λβ²/2= λυ²/2c² ή

Προφανώς αν δεν ισχύει το φαινόμενο της διαστολής του χρόνου τότε το Δλ₂ θα είναι μηδέν.
Στο πείραμα που πραγματοποίησαν οι Ives και Stilwell επιτάχυναν ιόντα Η²⁺ και Η³⁺ και μέτρησαν την μετατόπιση της δεύτερης χαρακτηριστικής γραμμής Balmer (Η_β), που έχει μήκος κύματος περίπου 4861 Å και χρώμα βαθύ μπλε.

Τα αποτελέσματα του πειράματος των Ives και Stilwell (1938): (α) Η γραμμή Balmer (Ηβ) που εκπέμπουν τα ιόντα με διαφορετικές ταχύτητες – μεγαλύτερη τάση αντιστοιχεί σε μεγαλύτερη ταχύτητα (β) η γραφική παράσταση της εξίσωσης (5) που επαληθεύει το φαινόμενο της διαστολής του χρόνου.

Η παραπάνω εικόνα είναι από το βιβλίο του A. P. French στο βιβλίο του «Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας». Σύμφωνα με τον French, οι Ives και Stilwell που πραγματοποίησαν το παραπάνω πείραμα δεν συμπέραναν ότι ισχύει η Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας, παρότι είχαν περάσει 33 χρόνια από την εμφάνισή της το 1905! Ερμήνευσαν το αποτέλεσμά τους σύμφωνα με την άποψη του Lorentz, ότι ένα κινούμενο ρολόι πηγαίνει πίσω, κατά τον ίδιο συντελεστή κατά τον οποίο μια κινούμενη ράβδος πίστευαν ότι συστέλλεται στην διεύθυνση της απόλυτης κίνησής της μέσα στον αιθέρα!!
Πάντως πέρα από τις οποιεσδήποτε σκουριασμένες αντιλήψεις των Ives και Stilwell, το πείραμά τους ήταν πρωτότυπο και απόλυτα επιτυχημένο.

To πείραμα επαναλαμβάνεται μετά από 76 χρόνια

Μια σύγχρονη έκδοση του παραπάνω πειράματος πραγματοποίησε ο Benjamin Botermann του πανεπιστημίου Johannes Gutenberg στη Γερμανία, μετρώντας με πρωτοφανή ακρίβεια την σχετικιστική μετατόπιση Doppler ιόντων λιθίου που επιταχύνθηκαν μέχρι το ένα τρίτο της ταχύτητας του φωτός, στο Experimental Storage Ring στο Damstadt.
Στην ερευνητική ομάδα που υλοποίησε το πείραμα συμμετείχε και ο βραβευμένος με νόμπελ φυσικής Theodor Hänsch. Τα αποτελέσματα του πειράματος δημοσιεύονται στο PRL με τίτλο: «Test of Time Dilation Using Stored Li+ Ions as Clocks at Relativistic Speed».

Η πειραματική διάταξη του πειράματος επαλήθευσης του σχετικιστικού φαινομένου της διαστολής του χρόνου με ιόντα λιθίου

Σε σύγκριση με την προηγούμενη μέτρηση του φαινομένου διαστολής χρόνου το 2007 από την ίδια ερευνητική ομάδα τα τωρινά αποτελέσματα είναι 5 φορές καλύτερα και 50 έως 100 φορές ακριβέστερα σε σχέση με οποιαδήποτε άλλη μέθοδο που χρησιμοποιήθηκε στο παρελθόν. (Διαβάστε σχετικά ΕΔΩ και ΕΔΩ)
Υπενθυμίζεται ότι εκτός από τη διαστολή του χρόνου που προβλέπει η Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας, υπάρχει και η διαστολή του χρόνου που προβλέπεται από την Γενική Θεωρία της Σχετικότητας εξαιτίας της βαρύτητας. Δηλαδή, ένα ρολόι στην επιφάνεια της Γης πάει πιο αργά σε σχέση με ένα ρολόι που βρίσκεται σε υψόμετρο, όπου η βαρύτητα είναι μικρότερη. Το φαινόμενο αυτό έχει επιβεβαιωθεί επίσης πειραματικά με εκπληκτική ακρίβεια.
πηγη